Diferența dintre integrare și sumare

Sumar

În matematica de liceu de mai sus, integrarea și sumarea sunt adesea descoperite în operațiile matematice. Ele sunt aparent folosite ca instrumente diferite și în situații diferite, dar au o relație foarte strânsă.

Mai multe despre Summation

Summationul este operația de adăugare a unei secvențe de numere, iar operația este adesea indicată prin litera greacă a sigma de capital Σ. Este folosit pentru a abrevieri sumare și egal cu suma / totalul secvenței. Ele sunt adesea folosite pentru a reprezenta seria, care în esență sunt secvențe infinite sumarizate. Ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a indica suma vectorilor, matricelor sau polinomilor.

Sumarea este de obicei făcută pentru o serie de valori care pot fi reprezentate de un termen general, cum ar fi o serie care are un termen comun. Punctul de pornire și punctul final al sumării sunt cunoscute sub numele de limita inferioară și limita superioară a sumării.

_{De exemplu, suma secvenței a} 1 , 2 , 3 , 4 n _{este un} 1 _{+ a} 2 _{+ a} 3 _{+ … + a} n ^{folosind notația de însumare ca Σ} _n i = 1 _a i

; i este numit indicele de sumare.

_{Pentru sumare bazate pe aplicație sunt utilizate multe variații. În unele cazuri, limita superioară și cea inferioară pot fi date ca un interval sau interval, cum ar fi Σ} 1≤i≤100 _a i _{și Σ} i∈ [1, 100] _a i _{. Sau poate fi dat ca un set de numere precum Σ} i∈P _a i

, unde P este un set definit.

_{În unele cazuri, pot fi utilizate două sau mai multe semne sigma, dar ele pot fi generalizate după cum urmează; Σ} j _Σ k _a jk _{= Σ} j _a jk

.

De asemenea, sumarea urmează multe reguli algebrice. Deoarece operația încorporată este adăugarea, multe dintre regulile comune ale algebrei pot fi aplicate sumelor înseși și pentru termenii individuali descriși de sumare.

Mai multe despre integrarea

Integrarea este definită ca un proces invers de diferențiere. Dar, în perspectiva sa geometrică, ea poate fi de asemenea considerată ca fiind zona închisă de curba funcției și a axei. Prin urmare, calculul zonei dă valoarea unui integrat definit așa cum este arătat în diagramă.

Sursa de imagini: // en. wikipedia. org / wiki / Fișier: Riemann_sum_convergence. png

Valoarea integrala definita este de fapt suma sirilor mici din interiorul curbei si axei.Zona fiecărei benzi este înălțimea × lățimea în punctul de pe axa luată în considerare. Lățimea este o valoare pe care o putem alege, spune Δx. Și înălțimea este aproximativ valoarea funcției la punctul considerat, să zicem f _(x i). Din diagrama, este evident că cu cât benzile sunt mai mici, cu atât benzile se potrivesc mai bine în interiorul zonei delimitate, prin urmare, o aproximare mai bună a valorii. Deci, în general integritatea definită I ) Δx + f (x n _{) Δx, unde n este numărul de fâșii (n = (ba) / Δx.) Această sumare a zonei poate fi ușor reprezentată utilizând notația de însumare ca} I n i = 1 _f (x i) Δx., Deci este rezonabil să spunem ^I _{= lim} Δx → 0 Σ _n i) Δx. Ca o generalizare din conceptul de mai sus putem alege Δx pe baza intervalului considerat indexat de i (alegerea lățimii zonei pe baza poziției) Apoi vom obține < i _{= lim} Δx → 0 ^Σ _n > i = _a ∫

b

f (x) dx _funcția f ^{(x) în intervalul [a, b]. În acest caz a și b sunt cunoscute ca limita superioară și inferioară a integrala. Reimann integral este o formă de bază a tuturor metodelor de integrare.} _{În esență, integrarea este sumarea zonei când lățimea dreptunghiului este infinitezimală.} Care este diferența dintre integrare și sumare? • Rezumatul este adăugarea unei secvențe de numere. De obicei, sumarea este dată în această formă Σ _n i = 1 _a i _{atunci când termenii din secvență au un model și pot fi exprimate folosind un termen general.} • Integrarea este în principiu zona delimitată de curba funcției, axa și limitele superioare și inferioare. Această zonă poate fi dată ca sumă de zone mult mai mici incluse în zona mărginită. ^{• Sumarea implică valorile discrete cu limitele superioare și inferioare, în timp ce integrarea implică valori continue.} • Integrarea poate fi interpretată ca o formă specială de sumare. • În metode de calcul numeric, integrarea este întotdeauna efectuată ca sumare.