Diferența dintre numerele raționale și iraționale Diferența dintre

Termenul "numere" ne aduce în minte ceea ce sunt în general clasificați ca valori întregi pozitive mai mari decât zero. Alte clase de numere includ numere întregi și fracții , complexe și numere reale și valori întregi negative . Extinzând în continuare clasificările numerelor, se întâlnesc numere

raționale și iraționale . Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca o fracțiune. Cu alte cuvinte, numărul rațional poate fi scris ca un raport de două numere.

Luați în considerare, de exemplu, numărul

6 . Acesta poate fi scris ca raportul dintre două numere viz. 6 și 1 , ceea ce duce la raportul 6/1 . De asemenea, 2/3 , care este scris ca o fracțiune, este un număr rațional. Putem astfel defini un număr rațional, ca număr scris sub forma unei fracții, în care atât numerotatorul (numărul de sus) cât și numitorul (numărul din partea de jos) sunt numere întregi. Prin definiție, prin urmare, fiecare număr întreg este, de asemenea, un număr rațional.

Raportul dintre două numere mari, cum ar fi (

129, 367, 871

) / ( 547, 724, 863 ) reprezintă, de asemenea, un exemplu de număr rațional pentru simplul motiv că atât numerotatorul, cât și numitorul sunt numere întregi. În schimb, orice număr care nu poate fi exprimat sub forma unei fracții sau a unui raport este numit irațional. Exemplul cel mai frecvent citat al unui număr irațional este √

2 ( 1. 414213 …) . Un alt exemplu popular al unui număr irațional este constanta numerică π ( 3.141592 … ) .

Un număr irațional poate fi scris ca zecimal, dar nu ca o fracție. Numerele iraționale nu sunt adesea folosite în viața de zi cu zi, deși există pe linia numerică. Există un număr infinit de numere iraționale între

0

și 1 pe linia numerică. Un număr irațional are cifre care nu se repetă în dreapta punctului zecimal. Rețineți că valoarea citată de

22/7

pentru constanta π este de fapt numai o valoare π >. Prin definiție, circumferința unui cerc împărțită de raza de două ori a lui este valoarea lui π. Aceasta conduce la valori multiple de π , incluzând, dar fără a se limita la, 333/106, 355/113 și așa mai departe1. Numai rădăcinile pătrate ale numerelor pătrate; i. e., rădăcinile pătrate ale patratelor perfecte sunt raționale.

- √1 = 1

(Rational)

√2 (ireal) = 2

(Rational) √5, √6, √7, √8

(irațional) √9

= 3 . În plus, observăm că numai rădăcinile

n ale puterilor

n sunt raționale. Astfel, 6

rădăcina 64 este rațională, deoarece 64 puterea 2 . Dar rădăcina 6 a 63 este irațională. 63 nu este o putere 6 perfectă.

Inevitabil, reprezentarea zecimală a iraționalilor apare în imagine și prezintă câteva rezultate interesante. Când exprimăm un număr rațional ca zecimal, atunci fie zecimal va fi exact (ca în 1/5 = 0). 20)

sau va fi

inexact

(ca în 1/3 ≈ 0. 3333 ). În ambele cazuri, va exista un model previzibil de cifre. Rețineți că atunci când un număr irațional este exprimat ca zecimal, atunci în mod clar va fi inexact, deoarece altfel numărul ar fi rațional. În plus, nu va exista un model previzibil de cifre. De exemplu, √2 ≈ 1. 4142135623730950488016887242097 Acum, cu numere raționale, întâlnim ocazional 1/11 = 0909090 . Utilizarea semnul egal ( = ) și trei puncte ( elipsă) implică faptul că, deși nu este posibil să exprimi exact

1/11 ca zecimal, putem încă să o aproximăm cu numerele zecimale care sunt permise să se apropie de

1/11 . Astfel, forma zecimală

1/11 este considerată inexactă. În același mod, forma zecimală ¼ care este 0. 25, este exactă. Venind la formularul zecimal pentru numere iraționale, ele vor fi mereu inexacte. Continuând cu exemplul √ 2 , atunci când scriem √2 = 1. 41421356237

… (notați utilizarea elipsei), imediat înseamnă că nu există zecimal pentru > √2 va fi exact. În plus, nu va exista un model previzibil de cifre. Folosind concepte din metode numerice, din nou, putem aproxima rațional cifrele zecimale până la un punct în care suntem aproape de √2 . Orice notă despre numerele raționale și iraționale nu se poate termina fără dovada obligatorie a motivului √2 este irațional. În acest sens, elucidăm, de asemenea, exemplul clasic al unei

dovezi privind contul . Să presupunem că √2 este rațional. Aceasta ne determină să o reprezentăm ca un raport dintre două numere întregi, să spunem p și q . √2 = p / q Nu trebuie să mai spunem că

p și q

nu au factori comuni, ieșiți de la numitor și numitor.

Squaring ambele părți ale ecuației, vom ajunge cu, - 2 2 / q

2

Acest lucru poate fi scris convenabil ca p 2 > 2 Ultima ecuație sugerează că

p

2

este egal. Acest lucru este posibil numai dacă p este în sine. Aceasta implică faptul că p

2

este divizibil cu 4 . Prin urmare, q

2 și, în consecință, q trebuie să fie echilibrate.Deci p și q sunt ambele chiar și ceea ce este o contradicție cu ipoteza noastră inițială că nu au factori comuni. Astfel, √2 nu poate fi rațională. Q. E. D.