Diferența dintre ortogonală și ortonormală

Ortogonal vs. Orthonormal

în matematică, cele două cuvinte ortogonale și ortonormale sunt frecvent utilizate împreună cu un set de vectori. Aici, termenul "vector" este folosit în sensul că este un element al unui spațiu vectorial - o structură algebrică folosită în algebra liniară. Pentru discuția noastră, vom lua în considerare un spațiu interior-produs - un spațiu vector V împreună cu un produs interior [] definit pe V .

De exemplu, pentru un produs interior, spațiul este setul tuturor vectorilor de poziție tridimensionali, împreună cu produsul dot obișnuit.

Ce este ortogonal?

Se consideră că un subset neemptic S al unui spațiu interior al produsului V este ortogonal dacă și numai dacă pentru fiecare în S , [u, v] = 0; i. e. produsul intern u și v este egal cu scalarul zero în spațiul interior al produsului. De exemplu, în setul tuturor vectorilor de poziție tridimensionali, aceasta este echivalentă cu a spune că, pentru fiecare pereche distinctă de vectori de poziție p

și

q < în S, p și q sunt perpendiculare între ele. (Amintiți-vă că produsul interior din acest spațiu vectorial este produsul dotat. De asemenea, produsul punct al celor două vectori este egal cu 0 dacă și numai dacă cei doi vectori sunt perpendiculari unul pe altul.) - Considerăm setul S = {(0, 2, 0), (4, 0, 0) a vectorilor de poziție tridimensionali. Observați că (0, 2, 0). (4, 0, 0) = 0

,

(4, 0, 0) . (0, 0, 5) = 0 & (0, 2, 0) . (0, 0, 5) = 0. Prin urmare, setul S este ortogonal. În special, se spune că doi vectori sunt ortogonali dacă produsul lor interior este 0. Prin urmare, fiecare pereche de vectori în S este ortogonală. Ce este orthonormal? O submulțime nonempty S a unui spațiu produs intern

V

este ortonormală dacă și numai dacă S este ortogonal și pentru fiecare vector u în S , [u, u] = 1. Prin urmare, se poate observa că fiecare set ortonormal este ortogonal, dar nu invers. De exemplu, în setul tuturor vectorilor de poziție tridimensionali, aceasta este echivalentă cu a spune că pentru fiecare pereche distinctă de vectori de poziție p și q

în S , p și q sunt perpendiculare între ele. | = 1. Acest lucru se datorează faptului că condiția [p, p] = 1 scade la p. p = | p || p | cos0 = | p | 2 = 1, echivalentul | p | = 1. Prin urmare, dat fiind un set ortogonal, putem întotdeauna forma un set ortonormal corespunzător prin împărțirea fiecărui vector cu magnitudinea sa. T = {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} este un subset ortonormal al mulțimii tuturor vectorilor de poziție tridimensionali.Este ușor de observat că a fost obținut prin împărțirea fiecărui vector în setul S , în funcție de magnitudinea lui. Care este diferența dintre ortogonală și ortonormală? ^{O submulțime nonempty} S a unui spațiu interior al produsului V

este ortogonală, dacă și numai dacă pentru fiecare u, v > S , [u, v] =

• 0. Totuși, este ortonormală, dacă și numai dacă o condiție suplimentară - pentru fiecare vector u în S , [u, u] = 1 este îndeplinită. Orice set ortonormal este ortogonal, dar nu invers. Orice set ortogonal corespunde unui set ortonormal unic, dar un set ortonormal poate corespunde mai multor seturi ortogonale.