Diferența dintre evenimentele mutuale și cele independente

Exclusiv față de evenimente independente

Oamenii confundă adesea conceptul de evenimente care se exclud reciproc cu evenimente independente. De fapt, acestea sunt două lucruri diferite.

Fie A și B două evenimente asociate cu un experiment aleatoriu E. P (A) se numește "Probabilitatea lui A". În mod similar, putem defini probabilitatea lui B ca P (B), probabilitatea A sau B ca P (A∪B) și probabilitatea A și B ca P (A∩B). Apoi, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A ∩ B).

Cu toate acestea, două evenimente se spune că se exclud reciproc dacă apariția unui eveniment nu afectează cealaltă. Cu alte cuvinte, ele nu pot să apară simultan. Prin urmare, dacă două evenimente A și B se exclud reciproc, atunci A∩B = ∅ și, prin urmare, implică P (A∪B) = P (A) + P (B).

Fie A și B două evenimente într-un spațiu eșantion S. Probabilitatea condiționată a lui A, dat fiind faptul că B a avut loc, este notată cu P (A | B) și este definită ca; P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B), cu conditia P (B)> 0. (altfel, nu este definită.)

Un eveniment A este considerat a fi independent de un eveniment B, dacă probabilitatea apariției lui A nu este influențată de faptul dacă B a avut loc sau nu. Cu alte cuvinte, rezultatul evenimentului B nu are niciun efect asupra rezultatului evenimentului A. Prin urmare, P (A | B) = P (A). În mod similar, B este independent de A dacă P (B) = P (B | A). Prin urmare, putem concluziona că dacă A și B sunt evenimente independente, atunci P (A∩B) = P (A). P (B)

Să presupunem că un cub numerotat este rulat și o monedă corectă este flipped. Fie A evenimentul ca obținerea unui cap și B să fie evenimentul în care se rotește un număr par. Apoi, putem concluziona că evenimentele A și B sunt independente, deoarece rezultatul aceluiași nu afectează rezultatul celuilalt. Prin urmare, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Deoarece P (A∩B) ≠ 0, A și B nu se pot exclude reciproc.

Să presupunem că o urnă conține 7 marmură albă și 8 marmură neagră. Definiți evenimentul A ca să trasați o marmură albă și evenimentul B ca să trasați o marmură neagră. Presupunând că fiecare marmură va fi înlocuită după notarea culorii ei, atunci P (A) și P (B) vor fi întotdeauna aceleași, indiferent de câte ori tragem din urnă. Înlocuirea marmurelor înseamnă că probabilitățile nu se schimbă de la egal la egal, indiferent de culoarea pe care am ales-o la ultima remiză. Prin urmare, evenimentele A și B sunt independente.

Cu toate acestea, dacă marmura a fost atrasă fără înlocuire, atunci totul se schimbă. Sub această ipoteză, evenimentele A și B nu sunt independente. Desenând o marmură albă, prima dată se schimbă probabilitatea de a trage o marmură neagră la a doua remiză și așa mai departe. Cu alte cuvinte, fiecare remiză are un efect asupra tragerii următoare, așa că tragerile individuale nu sunt independente.

Diferența dintre evenimentele mutuale exclusive și independente - Exclusivitatea reciprocă a evenimentelor înseamnă că nu există o suprapunere între mulțimile A și B. Independența evenimentelor înseamnă că întâmplărea lui A nu afectează întâmplările lui B. - Dacă două evenimente A și B se exclud reciproc, apoi P (A∩B) = 0. - Dacă două evenimente A și B sunt independente, atunci P (A∩B) = P (A). P (B)